5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función del calculo diferencial.

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función     es estrictamente creciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,     y   , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función     es estrictamente creciente en el punto de abcisa     si existe algun número positivo     tal que     es estrictamente creciente en el intervalo  

De esta esta definición se deduce que si     es derivable en     y     es estrictamente creciente en el punto de abcisa   , entonces   .

Función creciente en un intervalo

Una función     es creciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,     y   , se cumple que:

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función     es estrictamente decreciente en un intervalo   , si para dos valores cualesquiera del intervalo,     y   , se cumple que:

1)      Máximos y minimos de una función:

Maximos y mínimos en una función

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.

Imagen:
Maximo de una función 

Imagen:
Mínimo de una función

2)      Criterio de la segunda derivada:

  Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:

a)      f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b)      f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa. 

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

 Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

  

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos:

 Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

3) criterio de la primera derivada:

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema de valor máximo y minimo:

Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).

2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).

3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide

4) concavidad y punto de inflexión:

  Concavidad y puntos de inflexión

Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no existe
.