4.8 Derivadas de funciones implícitas.

La derivada de la función implícitadefinida mediante la ecuación  puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que 

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:

; , siempre que 

Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuacióndefine una función explícita en un entorno decon

Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.

4.7 Derivadas de orden superior y regla L' Hopital.

Derivadas de orden superior.

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Regla del L´ Hopital.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli¹ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

4.6 Formula de derivación y formulas de diferenciación.

Para funciones más simples, el trabajo de calcular la derivada de una función se puede realizar simplemente usando la definición de derivada. Pero si se da una función compleja, ahora es que vale la pena utilizar la definición de la derivada para el cálculo de las derivadas de la función, dado que si no lo hacemos requeriría muchos cálculos. Con el fin de reducir los cálculos involucrados en el proceso se han introducido una serie de fórmulas de diferenciación.

Junto con las fórmulas se han introducido una serie de propiedades que pueden ser usadas directamente. Algunas fórmulas de diferenciación importantes son,

1 Fórmula de Diferenciación General

, en esta fórmula, c es un valor constante.

, esta es la regla de la potencia de la diferenciación. En esta fórmula, n debe ser exclusivamente un número real.

, lo que significa que cuando un número es diferenciado con respecto a sí mismo producirá uno como resultado.

2 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Logarítmicas

, lo que significa que la diferenciación del logaritmo natural de un número con el mismo número producirá la inversa del número como resultado.

, esta ecuación explica que la diferenciación de un logaritmo natural de la función con respecto a la variable de entrada producirá el inverso de la multiplicación de la función con la derivada de la función como salida.

, esta ecuación explica que la diferenciación del logaritmo de una variable con respecto a su variable de entrada dará el inverso de la multiplicación del número con el logaritmo natural del número.

3 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

, esta fórmula de diferenciación es interesante dado que establece; la diferenciación del exponente de una variable producirá el exponente de la variable como salida.

, esta regla establece que la diferenciación del exponente de una función producirá la multiplicación del exponente de la función con la derivada de la función como salida.

, esta regla establece que la diferenciación de una constante elevada a la potencia de una variable producirá la multiplicación de la constante elevada a la potencia de la misma variable con el logaritmo natural de la constante.

4 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

Las fórmulas mostradas anteriormente se explican por sí mismas y no necesitan ninguna otra explicación.

Todas estas fórmulas de diferenciación también derivan de la definición básica de diferenciación para facilitar el trabajo y reducir la parte de cálculo. Para tener una mejor comprensión del tema, observe el ejemplo que se ilustra a continuación,

Probar que d(arctan x)/ dx = 1/ (1 + x2) es verdadera.

En la ecuación anterior y = arctan x. esto implica que y = tan x. Ahora sustituyendo en la ecuación dada.

d (tan y)/ dx = (1/ cos2x) dy/ dx

(1/ cos2x) dy/ dx = 1

dy/ dx = cos2 x

dy/dx = 1/ (1 + x2)

4.5 Regla de la cadena.

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de ycon respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si  es diferenciable en  y  es una función diferenciable en , entonces la función compuesta  es diferenciable en  y

4.4 Propiedades de la derivada.

Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,