El fin de este blog, es tratar problemas de calculo diferencial para poder ayudar a personas a estudiar mas fácilmente, a través de ejercicios resueltos y vídeos con su explicación.
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. En términos intuitivos, si una variabley, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de ycon respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en , entonces la función compuesta es diferenciable en y
Las derivadas forman una parte importante del cálculo.
Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.
En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.
Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.
Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.
Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.
3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.
4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.
5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.
6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.
7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.
8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.
9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,
h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)
Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por y .
Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto. Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función. La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.
Conceptos de crecimiento y tasa de cambio, derivada de una función
La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.
A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.
En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.
Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.
El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.
La pendiente de una línea recta se puede calcular como
La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.
La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.
Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.
Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.
Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,
Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). El intervalo es considerado entre t = a y t = b.
Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal función es llamada función lineal.
Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea.
La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.
Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.
La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada.
No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño.
Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.
Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el intervalo x + a y x será,
f(x + h) – f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h
Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como,
Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.
Ejemplo. La función es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable
Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.
Ejemplo. a) la función signo en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues
y el salto es 1-(-1)=2.
b) La función f(x) = 1/x es discontinua en 0 de salto infinito.
es diferenciable en 
y 
es una función diferenciable en 
, entonces la función compuesta 
es diferenciable en 
que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
y 
es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable
en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues
tiene una discontinuidad esencial en 0.